Меню

Построить графики частичных сумм ряда фурье

Формула для частичных сумм тригонометрического ряда Фурье

Периодические функции.

Мы уже знакомы с периодическими функциями. Под периодом \(T\) функции \(f(x)\) будем понимать наименьший из ее периодов. Так, функции \(\sin x\) и \(\cos x\) имеют период \(2\pi\), а функция \(\operatorname x\) имеет период \(\pi\).

Если \(f(-l + 0) \neq f(l-0)\), то продолженная функция в точках \(l(2n + 1)\), \(n \in \mathbb\), будет иметь разрывы первого рода со скачком \(f(-l + 0)-f(l-0)\) даже в том случае, когда функция \(f(x)\) была непрерывной на промежутке \([-l, l)\) (см. рис. 63.1). Функция \(f(x)\), непрерывная на промежутке \([-l, l)\), будучи периодически продолженной на \((-\infty, +\infty)\), останется непрерывной в том и только том случае, когда \(f(-l + 0) = f(l-0)\).

Рис. 63.1

Если функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на отрезке \([-l, l]\) и \(2l\)-периодическая, то для любого вещественного числа \(a\) выполнено равенство
$$
\int\limits_^ f(x)\ dx = \int\limits_<- l>^ f(x)\ dx.\nonumber
$$

\(\circ\) Это утверждение было уже доказано нами ранее. \(\bullet\)

Частичные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции.

В дальнейшем считаем, что полупериод \(l = \pi\). Такое предположение не ограничивает общности, поскольку от периода \(2l\) к периоду \(2\pi\) можно перейти при помощи простой замены независимой переменной.

Запишем для \(2\pi\)-периодической абсолютно интегрируемой функции ее тригонометрический ряд Фурье и построим последовательность частичных сумм этого ряда
$$
S_(x) = \frac<1> <2>+ \sum_^ a_ \cos kx + b_ \sin kx.\label
$$
Заметим, что функция \(S_(x)\) бесконечно дифференцируема и \(2\pi\)-периодична.

Найдем формулу для \(S_(x)\) (формулу Дирихле). При \(u \neq 2k\pi\), \(k \in \mathbb\), справедливо тождество
$$
D_(u) = \frac<1> <2>+ \cos u + \ldots + \cos nu = \dfrac<\displaystyle\sin \left(n + \frac<1><2>\right)u><2\displaystyle\sin \frac<2>>.\label
$$
\(\circ\) Достаточно заметить, что
$$
2D_(u) \sin \frac <2>= \sin \frac <2>+ 2 \cos u \sin \frac <2>+ \ldots + 2 \cos nu \sin \frac <2>=\\= \sin \frac <2>+ \sin \frac<3u><2>-\sin \frac <2>+ \ldots + \sin (n + \frac<1><2>)u-\\-\sin (n-\frac<1><2>)u = \sin (n + \frac<1><2>)u.\ \bullet\nonumber
$$

Читайте также:  С чего можно построить баню фото

Функция \(D_(u)\), определяемая формулой \eqref, называется ядром Дирихле.

Ядро Дирихле — бесконечно дифференцируемая, четная и \(2\pi\)-периодическая функция, причем
$$
\frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>D_(u)\ du = 1.\label
$$

\(\circ\) Четность, \(2\pi\)-периодичность и бесконечная дифференцируемость ядра Дирихле следуют из формулы \eqref, так как теми же свойствами обладает функция \(\cos ku\). Формула \eqref также следует из формулы \eqref, поскольку
$$
\frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>D_(u)\ du = \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>(\frac<1> <2>+ \cos u + \ldots + \cos nu)\ du =\\= 1 + \frac<1> <\pi>\sum_^ \int\limits_<-\pi>^ <\pi>\cos ku\ du = 1.\ \bullet \nonumber
$$

Выведем теперь формулу Дирихле для частичных сумм ряда Фурье. Подставляя в формулу \eqref для частичной суммы выражения для коэффициентов Фурье и используя формулу \eqref для ядра Дирихле, получаем
$$
S_(x) = \frac<1> <2\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t)\ dt + \\ + \sum_^ (\cos ku \cdot \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) \cos kt\ dt + \sin kt \cdot \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) \sin kt\ dt) = \\ = \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) (\frac<1> <2>+ \sum_^ \cos kx \cos kt + \sin kx \sin kt)\ dt = \\ = \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) (\frac<1> <2>+ \sum_^ \cos k(x-t))\ dt = \\ = \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) D_(x-t)\ dt = \frac<1> <\pi>\int\limits_^ f(x-u) D_(u)\ du.\nonumber
$$

Так как подынтегральная функция \(2\pi\)-периодическая, а интеграл по отрезку длины \(2\pi\) в силу леммы 1 не зависит от того, в каком месте вещественной оси этот отрезок расположен, то
$$
S_(x) = \frac<1> <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(x-u) D_(u)\ du.\label
$$

Источник

Числовые ряды, ряды фурье и преобразование Фурье

Исследовать на сходимость числовые ряды.

А)

Б)

А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:

При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

Читайте также:  Как играть в майнкрафт как построить дом на дереве

— следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится абсолютно.

Б) Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Следовательно, исходный ряд расходится, так как расходится соответствующий несобственный интеграл.

Исследовать знакочередующийся ряд На абсолютную и условную сходимость.

1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

;

Используем 2й признак сравнения:

Так как ряд расходится как обобщённый гармонический. Следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость.

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится абсолютно на интервале (-8;-2)

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-8 исходный ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:

Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле

Источник

5.4. Построение графиков частичных сумм степенного ряда

Разложение функций в ряд Тейлора или в ряд Маклорена является одной из важных задач в курсе высшей математики. При этом частичные суммы таких рядов аппроксимируют функцию в окрестности точки. Различие между ними при удалении от центра разложения можно определить визуально, построив график самой функции и графика частичных сумм.

Пример 5.6.Найти несколько членов разложения в ряд Маклорена функциии построить графики функции и частичных сумм.

Решение.Решение задачи проведем в программе Maple

Рисунок 5.7 – График функции и частичных сумм

Из графиков видно, что частичные суммы хорошо аппроксимируют функцию на отрезке [-1; 1], а дальше уже существенно отличаются.

5.5. Построение графиков периодических функций и графиков частичных сумм ряда Фурье

Построение графиков периодических функций, которые выражаются через периодические тригонометрические функции, выполняется стандартными методами построения графиков. Другое дело если периодическая функция представляет собой периодическое распространение на всю числовую ось произвольного выражения, заданного на каком-то промежутке. В этом случае построение графиков таких периодических функций сводится к заданию функции на этом промежутке и дальнейшего распространения графика данной функции на этом промежутке на всю числовую ось. В результате получается последовательность одинаковых графиков, смещенных на период.

Читайте также:  Постройте улучшение мотт и бейли

Пример 5.7.Построить график периодической функции, заданной условиями

Отображаем графики в одном окне (рисунок 5.8)

Рисунок 5.8 – График периодической функции

Периодические функции раскладываются в ряд Фурье по тригонометрической системе функций. Ряд Фурье для функций с периодом T=2l имеет вид

,

где коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам

.

Пример 5.8. Найти коэффициенты ряда Фурье периодической функции из предыдущего примера и построить в одном окне график функции и частичной суммыполученного ряда Фурье.

Решение.Используя задание функции в предыдущем примере, найдем коэффициенты ряда Фурье по записанным выше формулам.

Определяем графический объект P0 в виде последовательности графиков периодической функции, определенных в предыдущем пункте

Находим частичную сумму и строим график периодической функции и этой частичной суммы (рис.5.9)

display(P0,P1);

Рисунок 5.9 – График периодической функции и частичной суммы

Из графика видно, что частичная сумма хорошо аппроксимирует периодическую функцию вдали от точек разрыва. Для точек, близких к точкам разрыва, необходимо брать частичные суммы с большим числом слагаемых.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Adblock
detector