Меню

Построить в плоскости горизонталь и линию наибольшего ската плоскости

Начертательная геометрия

В плоскости можно расположить бесчисленное количество прямых, среди которых будут линии уровня плоскости, т.е. прямые, параллельные плоскостям проекций, и прямые, перпендикулярные к этим линиям уровня, так называемые линии наибольшего уклона плоскости. Такие прямые называются главными (или особыми) линиями плоскости. К первым относятся горизонтальные линии плоскости (горизонтали плоскости), а также фронтальные и профильные (фронтали плоскости, профильные прямые плоскости).

Главные линии плоскости имеют большое практическое применение. Например при помощи горизонталей изображаются части поверхности земляных сооружений, ограниченные плоскостями (откосы насыпей и выемок, плотин и т.п.), определяются их контуры на планах и т.д. Горизонталями плоскости – напластования горных пород, ориентируется положение пласта породы по отношению к сторонам света (простирание), а линией наибольшего уклона указывается положение этого пласта по отношению к плоскости горизонта (падение).

Горизонтали и фронтали плоскости широко используются при решении различных задач начертательной геометрии. Задание плоскости этими линиями имеет ряд преимуществ перед другими способами задания её.

Горизонтали плоскости. Горизонтальными линиями уровня плоскости называются прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

Горизонтальную линию уровня любой плоскости можно рассматривать как линию пересечения этой плоскости с горизонтальной плоскостью уровня. Горизонтальную плоскость проекций П1 можно принять за горизонтальную плоскость нулевого уровня. Поэтому горизонтальный след Р1 плоскости можно принять за горизонтальную линию нулевого уровня этой плоскости.

Все горизонтали плоскости, в том числе её горизонтальный след взаимно параллельны как линии пересечения одной плоскости с параллельными плоскостями уровня.

На рис. 3.3, а изображена плоскость Р, заданная следами Р1 и Р2, горизонталь h и ее проекции h1 и h2. Для построения проекций горизонтали на комплексном чертеже (рис. 3.3, б) проведена проекция h2ОХ, построены проекции N2=h2P2 и N1ОХ фронтального следа N горизонтали и через N1 проведена проекция h1P1. Построенная горизонталь h находится в плоскости Р, так как она проходит через точку NP и параллельна прямой Р1Р.

На рис.3.3, в показана горизонталь А1, построенная в плоскости треугольника АВС.

Фронтали плоскости. Фронтальными линиями уровня плоскости называются прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций.

Проведя рассуждения, аналогичные рассмотренным для горизонтали, придем к выводу, что фронтали плоскости параллельны фронтальному следу Р2 плоскости, являющемуся фронтальной линией нулевого уровня этой плоскости.

Плоскость Р, заданная следами Р1 и Р2, фронталь f и её проекции f1 и f2 изображены на рис 3.4, а.

Для построения проекций фронтали на комплексном чертеже (рис 3.4, б) проведена проекция f1ОХ, построены проекции М1=f1Р1 и М1ОХ горизонтального следа М фронтали и через М2 проведена проекция f2Р2. Построенная фронталь fР, т.к. она проходит через точку МР и параллельна прямой Р2Р.

Линия наибольшего уклона (ската) плоскости.

Из всех линий, расположенных в плоскости, прямая, идущая под прямым углом к горизонталям (рис. 3.5,а), наклонена к плоскости П1 под наибольшим углом – линия наибольшего ската плоскости (ЛНС). Её горизонтальная проекция составляет прямой угол с горизонтальным следом плоскости и с горизонтальными проекциями горизонталей. Поэтому ЛНС следует начинать строить с горизонтальной проекции (рис. 3.5, б), которая расположена по прямым углом к следу Р1 и к горизонтальной проекции горизонтали. Отметив на горизонтальной проекции линии наибольшего ската две точки М1 и А1, строим их фронтальные проекции. Фронтальная проекция линии наибольшего ската пройдет через точки М2 и А2. Построение линии наибольшего ската на плоскости, заданной треугольником АВС, показано на рис. 3.5, в, где сначала перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали проведена горизонтальная проекция 11-21, а затем фронтальная проекция 12-22 этой линии.

Угол  наклона линии наибольшего ската к плоскости П1 определяет наклон плоскости Р к плоскости П!.

3.6 Построение линии пересечения двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися, частным случаем пересекающихся плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

Позиционными называются задачи на определение общих элементов различных сопрягаемых геометрических форм. К ним относятся задачи на принадлежность геометрических элементов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение прямой и плоскости с поверхностью, пересечение двух поверхностей и, в частности, задача на пересечение двух плоскостей.

Линия пересечения двух плоскостей является прямой, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся плоскостям. Поэтому для построения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой или одну точку и направление линии пересечения.

Читайте также:  Как построить выкройку юбки трапеции для начинающих

Для определения этих точек были найдены точки пересечения сторон АВ и ВС с проецирующей плоскостью. Построение точек D и Е как на пространственном чертеже (рис. 3.6, а), так и на эпюре (рис. 3.6,б) не вызывает затруднений, т.к. основано на разобранном выше собирательном свойстве проецирующих следов плоскостей.

Соединяя одноименные проекции точек D и Е получим проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС и плоскости Р. Таким образом, горизонтальная проекция D1 Е1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости Р – с её горизонтальным следом.

На рис. 3.8 приведены две плоскости, заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки пересечении М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получил проекции линии пересечения плоскостей.

Если точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа (см. пример 5), а также в тех случаях, когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные плоскости уровня – горизонтальные или фронтальные. Необходимо отметить, что при построении линии пересечения плоскостей, заданных следами, роль вспомогательных секущих плоскостей выполняют плоскости проекций П1 и П2.

На рис. 3.9 показан случай пересечения двух плоскостей, когда известно направление линии пресечения, т.к. плоскость Р является плоскостью уровня (РП1). Поэтому достаточно иметь лишь одну точку пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов. В нашем случае линия пересечения является общей горизонталью NА плоскостей Р и Т.

Комплексный чертеж Монжа Проекция геометрического объекта на одну плоскость, рассмотренная нами ранее, не дает полного и однозначного представления о форме геометрического объекта. Поэтому рассмотрим проецирование хотя бы на две взаимно перпендикулярные плоскости, одна из которых расположена горизонтально, а другая вертикально
Построение очертаний поверхности на комплексном чертеже

Источник

Линия наибольшего наклона

Отличительным признаком для проекции линии наибольшего ската является перпендикулярность ее горизонтальной проекции, горизонтальной проекции горизонтали и горизонтальному следу плоскости αH см. рисунок. Следует иметь ввиду, что линия наибольшего наклона будет использоваться в дальнейшем для определения угла наклона плоскости к плоскостям проекции.

Действительно, линия наибольшего наклона k и ее горизонтальная проекция k` образуют линейный угол NMN` (NMαH и N`MαH), который служит мерой двугранного угла, составленного плоскостями α и H.

Для линии наибольшего наклона плоскости к V характерно, что ее фронтальная проекция, перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали (или αV) и, наконец, профильная проекция линии наибольшего наклона плоскости к W займет положение, перпендикулярное к профильной проекции профильной прямой (или αW).

Линия наибольшего наклона k к плоскости H строится начиная с ее горизонтальной проекции k`.

Линия наибольшего наклона должна быть построена дважды в задаче на определение углов наклона плоскости или грани a//b к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекции

Построенные линия наибольшего наклона k и линия наибольшего наклона n представляют собой прямые общего положения, смотри:
Прямая общего положения;
Углы наклона прямой.

Источник

Линии наибольшего наклона плоскости

Линиями наибольшего наклона заданной плоскости к плоскостям Н, V и W называют прямые, лежащие в этой плоскости и перпендикулярные или к горизонталям данной плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым уровня. Линии наибольшего наклонасоответственно определяют наклон заданной плоскости к плоскостям Н, V или W.

Угол α заданной плоскости –угол наклона заданной плоскости к горизонтальной плоскости проекцийопределяетлиния ската плоскости. Линия ската лежит в заданной плоскости и перпендикулярна горизонтали этой плоскости (рис. 73).

а

Рис. 73. Построение линии ската в плоскости:

а – заданной следамиплоскости Р; б –в плоскости, заданной ΔСDЕ

Угол β заданной плоскости – угол наклона заданной плоскости к фронтальной плоскости проекций V определяет линия наибольшего наклона – прямая, лежащая в заданной плоскости и перпендикулярная фронтали этой плоскости.

Построение линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций V выполняется по схеме построения линии ската (рис. 74б):

а) в заданной плоскости (CDE) строят проекции фронтали D1 (d1; d’ 1′);

б) проводят фронтальную проекцию линии наибольшего наклона перпендикулярно фронтальной проекции фронтали в любом удобном или необходимом месте на чертеже. В нашем случае линия наибольшего наклона проводится из точки Е (а’е’d’1′);

Читайте также:  Песня вот для чего нам построили дом

в) горизонтальная проекция линии наибольшего наклона строится по условию принадлежности ее данной плоскости.

На рис. 74а приведено построение линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций V в плоскости Р, заданной следами. Фронтальный след плоскости РV является нулевой фронталью этой плоскости. Фронтальная проекция искомой линии d’e’ проводится под прямым углом к РV в любом удобном месте. Горизонтальная проекция de строится из условия принадлежности прямой DE плоскости Р.

Для того чтобы найти углы α или β линий наибольшего наклона, можно использовать способ прямоугольного треугольника.

а
б

Рис. 74. Построение линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций:

а – в плоскости Р, заданной следами; б –в плоскости, заданной ΔСDЕ

3.5.2.1. Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций

по линиям наибольшего наклона

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций V и Н называются прямые, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные соответственно к фронтали или горизонтали данной плоскости.

Линии наибольшего наклона можно также проводить перпендикулярно следам плоскости, т. к. фронталь плоскости параллельна фронтальному следу («нулевой» фронтали), горизонталь плоскости параллельна горизонтальному следу («нулевой» горизонтали) (рис. 75).

AB – линия наибольшего наклона (ската) к плоскости Н.

AC – линия наибольшего наклона к плоскости V.

∠α – угол наклона плоскости Р к плоскости проекций Н = α°.

∠β – угол наклона плоскости Р к плоскости проекций V = β°.

Рассмотрим на конкретных примерах способы определения углов наклона заданной плоскости к плоскостям проекций V и H.

Определение углов наклона заданной плоскости к плоскостям проекций V и H

способом прямоугольного треугольника

Задача 1. Определить угол наклона плоскости Р(АDE) к плоскости проекций Н.

Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 76):

1. В плоскости Р провести горизонталь Н (h’, h).

2. Из вершины А, перпендикулярно горизонтали, построить отрезок АВ – линию ската, лежащую в этой плоскости; построение линии ската начинается с горизонтальной проекции при условии, что |ab| ⊥ h.

3. Определить действительную величину отрезка АВ методом прямоугольного треугольника, одним катетом которого будет горизонтальная проекция этого отрезка |ab|.

4. Искомым углом α является угол между гипотенузой |аоb| треугольника (abao) и горизонтальной проекцией линии ската ab.

Рис. 75. Пространственная модель линий наибольшего наклона плоскости

Рис. 76. Определение ∠α плоскости ∆АЕD по линии ската

Задача 2. Определить угол наклона плоскости Р к плоскости проекций V.

Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 77):

1. В плоскости Р провести фронталь F(f ′, f).

2. Из вершины А перпендикулярно фронтали, провести отрезок |АС| – линию наибольшего наклона, лежащую в этой плоскости, построение линии наибольшего наклона начинается с построения фронтальной проекции при условии, что a′c′f ′.

3. Определить натуральную величину отрезка [АС] методом прямоугольного треугольника, одним катетом которого является его фронтальная проекция.

4. Искомым углом β является угол между гипотенузой аос′ треугольника a′c′ao и фронтальной проекцией a′c′.

Рис. 77. Определение ∠β плоскости ∆EAD по линии наибольшего наклона

Задача 3. Построить равнобедренный треугольник с вершиной в точке С и основанием, равным высоте треугольника по величине, лежащим на прямой (AD). Определить углы наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н. А(10; 10;15); С(30; 40; 30); D(60; 30;15); (рис. 78–80).

Данная задача состоит из нескольких небольших задач

1. Построение проекций треугольника.

2. Определение углов наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Построение проекций треугольника.

1.1. По заданным координатам строим фронтальные и горизонтальные проекции точек А, С и D. Через точки А и D проводим проекции прямой AD соответственно плоскостей проекций. Согласно исходных данных (АD) является горизонтальной прямой уровня (рис. 78).

1.2. Ввиду того, что (AD)|| Н, построение проекций высоты треугольника начинаем с горизонтальной проекции (на основании теоремы о прямом угле), проводим [с)⊥(а d). Луч [c) при пересечении с (аd) дает точку k. Фронтальная проекция высоты c′k′ выстраивается по проекционной зависимости. Определяем длину |CK|.

1.3. Методом прямоугольного треугольника, за один катет принимая горизонтальную проекцию (сk) определяем длину |CK|. Она равна гипотенузе kco,|CK| = |kco| = н.в.

1.4. Строим горизонтальную проекцию основания треугольника op = |CK| на проекции отрезка AD, откладывая его без искажения и учитывая, что основание треугольника в точке К делится пополам. Получаем точки о и р. Фронтальная проекция основания треугольника выстраивается по проекционной зависимости.

Читайте также:  Построить самостоятельно гороскоп на год

1.5. Строим проекции искомого треугольника cop и с′о′р′.

2. Определение углов наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.

2.1. Определяем угол наклона плоскости ΔРОС к плоскости проекций Н.

Анализируя данные (рис. 78), отмечаем, что высота ΔРОС – отрезок СК – является линией ската плоскости треугольника к плоскости проекций Н, т. к. ckad, а основание ОР || H, т. е. является горизонталью плоскости треугольника. Следовательно, угол между cok и [ck] является углом наклона α данной плоскости к плоскости проекций Н.

Рис. 78. Определение ∠α плоскости ∆ОРС по линии ската

2.2. Определяем угол наклона плоскости ΔРОС к плоскости проекций V по линии наибольшего наклона.

Угол наклона плоскости ΔРОС к плоскости проекций V определяется при помощи линии наибольшего наклона MN, перпендикулярной к фронтали треугольника, [MN] ⊥ F.

Ход решения (рис. 79):

2.2.1.Через вершину треугольника Р проводим фронталь F.

Рис. 79. Определение ∠β плоскости ∆ОРС по линии наибольшего наклона

2.2.2. В плоскости ΔРОС строим прямую MN – линию наибольшего наклона, где фронтальная проекция m′n′f′, а горизонтальная проекция mn строится по проекционной зависимости.

2.2.3. Определяем длину отрезка [MN] методом прямоугольного треугольника, построенного на фронтальной проекции, m′n′ – является его натуральной величиной.

2.2.4. В прямоугольном треугольнике угол между m′n′ и n′mo является углом наибольшего наклона ΔРОС к плоскости проекций V, т. е. ∠β.

Итак, возвращаемся к условию задачи и на основе вышерассмотренного материала решаем эту задачу на одном чертеже.

Задача 4. Построить равнобедренный треугольник с вершиной в точке С и основанием, равным высоте треугольника и лежащим на прямой AD. Определить углы наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.

Решение. Порядок выполнения графической части задачи:

1. Строим проекции прямой AD, (AD) || V (рис. 80).

2. Строим проекции высоты треугольника, начиная с фронтальной – c′k′⊥ a′d′, горизонтальная проекция высоты выстраивается по проекционной принадлежности.

3. Строим основание треугольника OP: o′p′ = c′k′, достраиваем горизонтальную и фронтальную проекции искомого ΔСОР.

4. ΔСОР ^ V = ∠β, СК – линия наибольшего наклона к плоскости V.

5. ΔСОР ^ Н = ∠α, PE – линия ската к плоскости Н.

Рис. 80. Полное решение задачи

Определение углов наклона плоскости общего положения

к плоскостям проекций методом замены плоскостей проекций

1. Определение угла наклона плоскости общего положения

к горизонтальной плоскости проекций

Задача. Дана плоскость угла α заданной плоскости. Необходимопреобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость ΔABC стал фронтально проецирующей плоскостью в новой системе плоскостей.

Порядок выполнения графической части задачи:

2. Проводим в плоскости ΔABC горизонталь DC.

3. Ось проекции X1 – горизонтальный след плоскости V1 – проводим перпендикулярно прямой cd на любом расстоянии от точки d.

4. Проводим из точек a, b и d линии связи к новой оси X1.

На новую плоскость проекций V1 плоскость ΔABC отобразилась в впрямую линию, т. е.стала фронтально проецирующей плоскостью. На новой плоскости проекций V1 угол наклона плоскости ΔABC к горизонтальной плоскости проекций αотображен без искажения (рис. 81).

Рис. 81. Определение угла ∠α плоскости ∆АВС

2. Определение угла наклона плоскости общего положения к фронтальной плоскости проекций методом замены плоскостей проекций

Задача. Дано: плоскость ΔABC – плоскость общего положения.

Для определения угла β заданной плоскости необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость ΔABC стал горизонтально проецирующей плоскостью в новой системе плоскостей.

Порядок выполнения графической части задачи:

2. Проводим в плоскости ΔABC фронталь DC.

3. Ось проекции X1 – фронтальный след плоскости Н1,проводим перпендикулярно прямой c′d′ на любом расстоянии от точки с′.

4. Проводим из точек а′, b′, и d′ линии связи к новой оси X1.

На новую плоскость проекций Н1 плоскость ΔABC отобразилась в прямую линию, т. е. стала горизонтально проецирующей плоскостью. На новой плоскости проекций Н1 угол наклона плоскости треугольника АВС к фронтальной плоскости проекций βотображен без искажения (рис. 82).

Рис. 82. Определение ∠β плоскости ∆АВС

Источник

Adblock
detector